第7章 商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。（1/2）

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《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。

但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。

看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。

《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的长（l）。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2（a+b）h .

刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。

刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。

所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32（1）]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，中国古代称为“堑堵”（如图1），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。

《九章算术》商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆亭”）的体积计算公式。

甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33（1）]，上、下底为矩形的拟

柱体（古代称“刍童”）以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体（古代称“刍甍”）（“甍”音“梦”）等都可以计算其体积。

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