第37章 lg（π＾K）＝Klgπ（9≤K≤12）（1/2）

一、概念基础

1.1 对数概念对数，是一种重要的数学概念。若（且），则叫做以为底的对数，记作。以10为底的对数，即常用对数，记为。它有着独特的特点，如底数固定为10，在实际应用中十分广泛，可简化乘除运算等。历史上，对数由苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明，极大地推动了数学和科学的发展。

1.2 幂运算规则幂运算包含多种规则。乘方是求个相同因数积的运算，结果叫幂，如表示乘以自己次。方根是开方运算的结果，如是的平方根。幂的运算规则有：同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，先把积中每个因数分别乘方，再相乘。这些规则在数学的各个领域，如代数、几何等，都有广泛的应用。

1.3 对数和指数函数关系对数和指数函数互为反函数。对于指数函数（且）和对数函数，指数函数的定义域是，值域是；对数函数的定义域是，值域是，它们的图像关于直线对称。这意味着给定一个指数函数，可找到唯一对应的对数函数作为其反函数，反之亦然。这种关系为解决数学问题提供了便利，如可通过指数函数研究对数函数性质，或利用对数函数求解指数方程等。

二、对数乘法性质

2.1 性质内容对数乘法性质是指当和都大于0时，。这意味着两个正数乘积的对数，等于这两个正数的对数之和。以10为底的对数满足这一性质，其他底数的对数同样适用。该性质源于对数定义与指数函数的紧密联系，是对数运算中的重要规则，为简化复杂的对数计算提供了便利。

2.2 性质证明设，，则有，。根据指数函数的性质，。再取以10为底的对数，得到。由于，，所以，从而证明了该性质。这一证明过程充分体现了对数与指数函数互为反函数的关系，以及指数函数运算性质在对数运算中的关键作用。

2.3 应用场景在工程计算中，对数乘法性质应用广泛。如在电子工程中，计算多个电阻串联后的总电阻阻值时，若各电阻阻值以10为底的对数形式给出，就可利用该性质，将各电阻阻值的对数相加，得到总电阻阻值的对数，再转化为实际阻值，简化计算。在天文学中，测量遥远星体的亮度时，亮度间的乘积关系可通过对数转化为加法运算，便于数据处理，使科研人员能更轻松地分析星体特性。

三、公式推导

3.1 应用性质转化在对数乘法性质中，将视为底数，视为幂指数，则可看作的次幂。根据对数的乘法性质，可转化为。具体来说，由于表示个相乘，而对数乘法性质表明多个数乘积的对数等于各数对数的和，所以就是个的和，即。这样，就完成了从到的转化。

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