第36章 ln（2xe＾K）＝Kln（e）＋ln2＝K＋ln2（9≤K≤13）（1/2）

一、指数函数和对数函数的基础知识

1.1 指数函数的定义和性质指数函数是形如（，，）的函数。其图像特征明显，当时，图像在轴上方且单调递增，经过点；当时，图像在轴上方且单调递减，也经过点。常见的指数运算法则有、、等，这些法则在数学运算和实际问题解决中应用广泛。

1.2 对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的反函数，若（，，），则，就是对数函数。它的图像与指数函数图像关于直线对称，当时，对数函数图像在轴右侧单调递增；当时，在轴右侧单调递减。对数函数具有定义域为、值域为等性质，是数学中重要的基本初等函数。

二、表达式ln(2xe^K)的展开过程

2.1 对数积、商、幂运算法则回顾对数积、商、幂运算法则至关重要。积的对数等于对数的和，即；商的对数等于对数的差，；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数，。这些法则如同数学运算中的利器，能帮助我们简化复杂表达式，为展开奠定基础。

2.2 展开ln(2xe^K)的具体步骤先利用积的对数运算法则，将拆分为与、的和，即。由于，且可看作的次幂，根据幂的对数运算法则，。于是表达式进一步化简为。又因为题目给定，所以最终结果为。

三、K + ln2在给定范围内的分析

3.1 K取不同值时K + ln2的值当K取9时，K + ln2 = 9 + ln2 ≈ 9.6931；当K = 10，K + ln2 = 10 + ln2 ≈ 10.6931；K = 11时，K + ln2 = 11 + ln2 ≈ 11.6931；K = 12，K + ln2 = 12 + ln2 ≈ 12.6931；而当K = 13时，K + ln2 = 13 + ln2 ≈ 13.6931。这些数值呈现出明显的规律性，随着K的增大而增大。

3.2 K + ln2的单调性与极值函数K + ln2在K的取值范围内，即9≤K≤13时，具有严格的单调递增性。因为K是自变量，且ln2是一个常数，当K增大时，K + ln2的值也随之增大。所以，该函数在K = 9时取得最小值，为9 + ln2 ≈ 9.6931；在K = 13时取得最大值，为13 + ln2 ≈ 13.6931。

四、表达式ln(2xe^K) = K + ln2的实际应用

4.1 物理学中的应用在物理学中，指数函数有着广泛且重要的应用。以放射性衰变为例，放射性元素的原子数随时间呈负指数衰减，表达式为，其中是初始原子数，是衰变常数。这种规律揭示了放射性元素随时间变化的特性，在核物理、地质学等领域，用于计算元素的半衰期、测定物质年龄等，为科学研究提供了关键依据。

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