第114章 数学物理的联动：用函数思想解物理极值（1/2）

林天邀战带来的压力，被凌凡迅速转化为优化学习策略的具体行动。他开始有意识地在“模型深度”与“思维效率”之间寻找新的平衡点，而这个过程，意外地为他打开了一扇通往更高层次理解的大门——数学与物理的深度融合。

周六下午，凌凡拒绝了赵鹏一起去打球的邀请，独自一人泡在图书馆的理科阅览区。他面前摊开的不是习题集，而是一本《高等数学在中学物理中的应用选讲》。这是他调整策略后，进行“知识溯源”和“网络化”的一部分。他隐隐觉得，物理中那些看似复杂的规律和巧妙的方法，其背后往往站着更简洁、更强大的数学语言。

他的目光停留在一章关于“极值问题”的论述上。物理中充斥着极值问题：小球从光滑曲面滑下，何时速度最大？电路中负载电阻为何值时，获得功率最大？透镜成像，何时像距最小？

常规的物理解法，往往依赖于特定的物理条件或巧妙的几何关系。但书中指出，许多这类问题，本质上都可以归结为寻找一个函数的极值点。

“将物理量之间的关系，用函数表达出来，再利用数学方法求极值。”

这句话如同醍醐灌顶，让凌凡愣住了。他回想起自己之前死磕过的一道物理竞赛预选题：

“题目”：一个半径为R的光滑半球形碗，固定在地面上。一个小球从碗边缘由静止开始滑下，求小球在滑行过程中，对碗壁压力最小时的位置。

当时他费了九牛二虎之力，进行受力分析，分解重力，寻找向心力来源，列出方程，然后试图通过复杂的三角函数变换和物理直觉来猜测极值点，过程繁琐且信心不足。

现在，看着书上那行字，一个念头如同闪电般划过脑海：能不能把这个问题，变成一个纯粹的数学问题？

强烈的探究欲驱使着他，他立刻拿出草稿纸，开始尝试。

第一步：确定研究对象和变量。 研究对象是小球。变量是它滑下的角度θ（设初始位置θ=0，碗底θ=90°）。

第二步：进行物理分析，建立关系。

1. 受力分析：小球受重力g（竖直向下），碗壁支持力N（指向球心）。

2. 运动分析：小球沿碗面做变速圆周运动。在任意角度θ时，根据牛顿第二定律在径向的分量（指向圆心为正）：

gstheta - N = frac{v^2}{R}

(因为向心力由重力径向分量与支持力的合力提供，此处N方向指向圆心，与正方向相同，而重力分力gsθ背离圆心，故相减)

3. 能量守恒：从碗边（θ=0，速度v0=0）到角度θ处，机械能守恒：

gR(1 - stheta) = frac{1}{2}v^2

=＞ [ v^2 = 2gR(1 - stheta) ]

第三步：将待求物理量表示为变量的函数。

我们需要求支持力N的最小值。由步骤2的方程(1)可得：

N = gstheta - frac{v^2}{R}

将能量守恒得到的 v^2 = 2gR(1 - stheta) 代入：

N = gstheta - frac{[2gR(1 - stheta)]}{R}

N = gstheta - 2g(1 - stheta)

N = gstheta - 2g + 2gstheta

N = 3gstheta - 2g

N = g(3stheta - 2)

第四步：利用数学方法求函数极值。

现在，压力N被表示成了关于变量θ的函数：N(θ) = g(3stheta - 2)。

由于g是常数，求N的最小值，等价于求函数f(θ) = 3stheta - 2 的最小值。

这是一个简单的三角函数！余弦函数sθ在θ∈[0, π/2]范围内是单调递减的。因此，f(θ)也在该区间单调递减。

所以，f(θ)的最小值出现在θ最大时，即θ=90°（碗底）！

这意味着，压力N在碗底最小！

代入θ=90°，s90°=0，得 N_= g(0 - 2) = -2g。

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