第87章 图像法的威力：v－t图下的面积与位移（1/2）

实验课的尘埃落定，带来的不仅是亲手验证理论的踏实感，更让凌凡对物理量之间的内在联系产生了更浓厚的探究欲。理论、实验、图像，构成了他理解物理的三大支柱。而接下来的一堂课，郑老师则着重强化了“图像”这一支柱的威力，其展示出的简洁与深刻，让凌凡再次为之震撼。

课程始于一个似乎需要复杂计算的问题：

“例题”：一质点沿直线运动，其加速度a随时间t变化的关系如图甲所示（a-t图）。已知t=0时，质点速度v?=2/s，求质点在前6秒内的位移。

凌凡看向图甲：a-t图由两段组成。0-2秒，a=1/s2；2-6秒，a=-0.5/s2。

他的第一反应是分段计算，运用运动学公式。

1. 0-2s内：匀加速，初速v?=2/s，a=1/s2。

· 2s末速度：v? = v? + a?t? = 2 + 1×2 = 4 /s

· 0-2s位移：x? = v?t? + (1/2)a?t?2 = 2×2 + 0.5×1×4 = 4 + 2 = 6 或者用平均速度：x? = [(v?+v?)/2] * t? = [(2+4)/2] * 2 = 3 * 2 = 6

2. 2-6s内：匀减速，初速v?=4/s，a=-0.5/s2，时间t?=4s。

· 6s末速度：v? = v? + a?t? = 4 + (-0.5)×4 = 4 - 2 = 2 /s

· 2-6s位移：x? = v?t? + (1/2)a?t?2 = 4×4 + 0.5×(-0.5)×16 = 16 - 4 = 12 或者用平均速度：x? = [(v?+v?)/2] * t? = [(4+2)/2] * 4 = 3 * 4 = 12

3. 总位移：x_total = x? + x? = 6 + 12 = 18

计算过程略显繁琐，但结果清晰。凌凡松了口气，觉得问题已解决。

然而，郑老师的目的并非于此。他肯定了这个计算结果后，话锋一转：“计算无误。但是，物理追求简洁与深刻。有没有更直观、更通用，甚至能揭示更深层关系的方法呢？”

说着，他在黑板上画出了第二个图——v-t 图。

“根据a-t图和我们刚才计算出的速度关键点，我们可以画出v-t图。”郑老师一边说，一边绘制。

· 0-2s：a=1，恒定，v-t图是一条斜率为1的直线。从(0,2)点到(2,4)点。

· 2-6s：a=-0.5，恒定，v-t图是一条斜率为-0.5的直线。从(2,4)点到(6,2)点。

最终，黑板上出现了一个清晰的梯形。下底从t=0到t=6，上底从v=2到v=2（实际上上下底都是水平的），高在速度轴上从v=2到v=4。

“现在，”郑老师用粉笔指着这个梯形，“这个梯形的面积是多少？”

同学们立刻计算：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (2 + 4) × (6-0) / 2？不对，高是速度差？不对，时间轴是横轴，速度是纵轴。面积应该是（时间长度）×（速度）的量纲。

凌凡立刻意识到：梯形的上底是初速度2/s（持续时间极短？），下底是末速度2/s？不对。他仔细看，这个梯形的高是时间跨度6秒？但上下底是速度值，不能直接加。

郑老师引导道：“这个图形是由v-t曲线和t轴所围成的区域。我们可以把它看作两个部分：一个从t=0到t=2的梯形（或矩形+三角形）和一个从t=2到t=6的三角形（或梯形？）。”

他重新划分：

· 0-2s区间：v-t曲线下的区域是一个梯形（或一个矩形加一个三角形）。面积 = (v? + v?)/2 * t? = (2+4)/2 * 2 = 6

· 2-6s区间：v-t曲线下的区域也是一个梯形（初速v?=4，末速v?=2）。面积 = (v? + v?)/2 * t? = (4+2)/2 * 4 = 12

· 总面积：6 + 12 = 18

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