第66章 天赋与方法的第一次思维碰撞（2/2）

……所以系数全零……

……导致矛盾……

“除非……”一个极其微弱、却石破天惊的念头，如同黑暗中划燃的第一根火柴，照亮了新的可能性。

“除非……这个关于k的二次方程，其二次项系数本身就有可能为0？”

这个想法太大胆了！如果二次项系数 -3√3 (x+4) = 0，那么方程★就退化成了一个关于k的一次方程！

一次方程要对所有非零k成立，那才需要其系数和常数项都为零！

但如果二次项系数为零，那么方程变为： 8y k + 3√3 (x-4) = 0（对? k ≠ 0）

这是一个一次方程。一个一次方程要对所有非零k都成立，这是绝对不可能的！因为k是变化的！除非……一次项系数8y和常数项3√3 (x-4)也都为零！

凌凡感觉自己的心脏快要跳出胸腔了！他抓住了关键！

完整的逻辑应该是：

方程★要对所有k≠0恒成立。 情况一：如果二次项系数-3√3 (x+4) ≠ 0，那么这是一个真正的二次方程，它不可能有无穷多个根（所有非零实数），所以这种情况不可能。 情况二：如果二次项系数-3√3 (x+4) = 0，那么方程退化为一次方程：8y k + 3√3 (x-4) = 0。要这个一次方程对所有k≠0成立，必须同时有： 一次项系数 8y = 0 常数项 3√3 (x-4) = 0

因此，唯一的可能性就是： -3√3 (x + 4) = 0=＞ x = -4 8y = 0=＞ y = 0 3√3 (x - 4) = 0=＞ x = 4

这依然是一个矛盾！x既要等于-4又要等于4？

绝望再次袭来。

但凌凡没有放弃，他像一匹孤狼，死死咬住猎物的喉咙。他再次审视情况二：当二次项系数为0时，方程退化为一次方程，要求一次项系数和常数项都为0。

这意味着，定点(x, y)必须同时满足 x = -4 和 (y=0 且 x=4)。

这显然是不可能的。

“所以……还是无解？”凌凡感到一阵虚脱。

突然，他猛地抬起头！

他意识到自己犯了一个致命的、却又是最容易被忽略的错误！

他搞错了对象！

方程★： - 3√3 (x + 4) k2 + 8y k + 3√3 (x-4) = 0

这个方程里的(x, y)，是直线MN上点的坐标！而不是定点本身的坐标！

他的整个推导，是基于“定点(x0, y0)代入直线MN方程应得到恒等式”这一点，这没错。 但是，他错误地将这个恒等式直接整理成了关于k的方程，然后去要求这个方程本身对任意k成立时，系数满足的条件。

实际上，正确的逻辑是： 存在一个定点(x0, y0)，使得当把这个定点的坐标(x0, y0)代入直线MN的方程（方程★）时，所得到的关于k的等式，能够对所有k≠0恒成立。

也就是说，(x0, y0)是固定的数，代入后，方程★变成了： - 3√3 (x0 + 4) k2 + 8y0 k + 3√3 (x0-4) = 0（对? k ≠ 0） （方程★★）

现在，对于固定的(x0, y0)，方程★★的左边是一个关于k的函数f(k)。我们需要找到特定的(x0, y0)，使得f(k) = 0 对于所有k≠0都成立。

而f(k)是一个关于k的二次函数（除非二次项系数为0）。要使一个二次函数在k≠0时恒为0，唯一的可能性就是：这个二次函数的所有系数都是0！

即： -3√3 (x0 + 4) = 0 8y0 = 0 3√3 (x0 - 4) = 0

这下，矛盾真真切切地出现了！无解！

凌凡彻底呆住了。大脑一片空白。

难道……这道题……真的……是错的？

就在他万念俱灰，几乎要接受这个事实的时候，他的目光无意中扫过了之前林天写下的第三种情况：当P(1, 3/2)时，直线MN的方程为 y = (-3/4)x + 6。

这条直线…… 它会不会恰好经过某个特殊的点？ 凌凡下意识地拿起笔，开始画图。 点M(4,3),N(-4,9)，连线。 y= (-3/4)x + 6。 当x=0时，y=6。点(0,6) 当y=0时，x=8。点(8,0) ……

等等！(0, 6)？这个点……

鬼使神差地，凌凡尝试着将(0, 6)这个点，代入他自己推导出的那个方程★★，看看会发生什么！

将 x0=0, y0=6 代入方程★★左边： f(k)= -3√3 (0+4) k2 + 8*6 k + 3√3 (0-4) =-3√3 * 4 k2 + 48 k + 3√3 * (-4) =-12√3 k2 + 48 k - 12√3

这个式子，显然不恒等于0。

但是……凌凡注意到，这个式子可以因式分解！ f(k)= -12√3 k2 + 48 k - 12√3 = -12√3 (k2 - 4/√3 k + 1) … 似乎不好分。 等等，提取公因式-12： f(k)= -12 ( √3 k2 - 4 k + √3 ) 还是不行。

他忽然想到，如果这个点(0,6)是定点，那么对于某个特定的k（即对应的P点），f(k)应该等于0，但未必对所有k都等于0。

他需要的是对所有k都等于0。

失败。

凌凡颓然地靠向椅背。教室里的灯已经熄了大半，只剩他头顶这一盏还亮着，将他孤独的身影投射在布满算式的草稿纸上。

天赋（林天）的方法似乎遇到了逻辑障碍。 方法（他自己）的严谨推导似乎导向了无解的矛盾。

这场思维的碰撞，似乎以双输告终。

然而，凌凡没有注意到的是，在他因式分解失败而放弃的那个表达式 f(k) = -12√3 k2 + 48 k - 12√3 中，如果他将这个式子除以某个量，或许会发现一些奇妙的规律……

但他太累了，挫折感也太强了。他默默地收拾好书包，将那张写满了失败痕迹的草稿纸郑重地夹入“错题本”，并在顶部写上：“椭圆压轴题-疑似矛盾？待解决”。

他知道，这只是第一次碰撞。 他也知道，他绝不会就此放弃。

真正的答案，一定隐藏在某个他尚未发现的、精妙的角落里。

而寻找的过程本身，就是超越天赋与方法之别的、最宝贵的财富。

夜很深了。少年背起沉重的书包，里面装着的，是未解的难题，是思维的碰撞，是失败的苦涩，更是……下一次冲锋的燃料。

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(逆袭笔记·第六十六章心得：1. ‘恒过定点’通法：将动直线方程整理成含参数形式，代入定点坐标后应得参数恒等式，通过令参数各次幂系数为零求解定点。这是核心方法。2. 警惕定义域：注意参数的实际取值范围（如k≠0），但它未必影响‘系数为零’的结论。3. 深刻理解‘恒成立’：明确方程中哪些是变量（如k），哪些是待定常数（如定点坐标x0,y0）。4. 直面矛盾：当推导出现矛盾时，需逐层检查逻辑、计算，考虑题目本身错误的可能性，但切勿轻易下结论，往往另有玄机。5. 碰撞的意义：与高水平对手的思维碰撞，即使暂时未解，也能极大深化对问题本质和理解层次的认识，暴露思维盲区。)