第63章 建立“数学灵感笔记”：记录瞬间的思路火花（1/2）

那道未完成的椭圆压轴题，像一段未解开的密码，萦绕在凌凡的脑海里。M(4, (3√3 sθ)/(sθ+1) )，N(-4, (-3√3 sθ)/(sθ-1) )，这两个看起来颇为“丑陋”的坐标，以及后续那看似庞杂无比的计算，成了他思维后台持续运行的一个进程。走路时，吃饭时，甚至睡前闭上眼，那两个分母（sθ+1）和（sθ-1）都在他意识的角落里幽幽地闪烁着，诱惑着他，又折磨着他。

他知道，硬算MN直线方程的两点式，是一条死胡同，至少是一条效率极低、极易出错的泥泞之路。他需要一条捷径，一个灵感。

这天物理课上，老师讲解着力的分解与合成，在黑板上画着平行四边形法则。“一个力，可以分解为两个不同方向上的分力，从而简化问题……”老师用粉笔敲着黑板，“关键在于找到合适的坐标系，让分力尽可能简单……”

“分解……简化……”凌凡下意识地在笔记本边缘写下了这两个词。突然，一道闪电毫无征兆地劈中了他的思维！

“分解！”

那两个烦人的分母！sθ+1 和 sθ-1！它们本身是不是可以“分解”？！或者说，被更简单的式子替代？

他猛地想起了前几天死磕三角函数公式时，在那个画满了单位圆和波浪线的A4纸上，似乎记录过这样的公式： 1 + sθ = 2s2(θ/2) 1 - sθ = 2s2(θ/2)

对！就是这个！ 那M点的纵坐标 M_y= (3√3 sθ) / (sθ+1) = (3√3 sθ) / [2s2(θ/2)] 而 sθ= 2s(θ/2)s(θ/2) ！（二倍角公式！） 代入！M_y= [3√3 * 2s(θ/2)s(θ/2)] / [2s2(θ/2)] = [3√3 s(θ/2)] / [s(θ/2)] = 3√3 tan(θ/2)

哇！凌凡几乎要叫出声来！那么复杂的一个分式，竟然化简成了一个简洁的正切函数！他强压住激动，立刻如法炮制处理N点的纵坐标。 N_y= (-3√3 sθ) / (sθ-1) = (-3√3 sθ) / [- (1 - sθ)] // 提个负号 =(3√3 sθ) / (1 - sθ) = (3√3 sθ) / [2s2(θ/2)] // 代入公式 =[3√3 * 2s(θ/2)s(θ/2)] / [2s2(θ/2)] = [3√3 s(θ/2)] / [s(θ/2)] = 3√3 t(θ/2)

t是余切，是tan的倒数！ 所以，现在点的坐标变成了： M(4, 3√3 tan(θ/2)) N(-4, 3√3 t(θ/2))

漂亮！极致的简化！原来那两个丑陋的分母，其存在的意义就是为了引导他使用半角公式进行化简，从而得到如此对称而优美的形式！

物理老师还在讲台上讲解着斜面上的物体受力分析，凌凡却在自己的草稿纸上完成了一次思维的剧烈风暴。他心跳加速，脸颊因兴奋而微微发烫。这种顿悟的快感，这种发现数学内部隐藏的简洁与对称之美的瞬间，带来的颅内高潮远比游戏里击败一个BOSS强烈百倍！

他迫不及待地想要继续下去。现在M和N的坐标清晰多了，求MN的直线方程应该也容易些了吧？ 他立刻拿起笔，准备一鼓作气。

然而，就在他刚刚写下“设MN直线方程为……”这几个字的时候，下课铃声响了。

物理老师布置完作业，宣布下课。同学们起身活动的嘈杂声瞬间淹没了教室。

凌凡：“……”

一股极其强烈的憋屈感和失落感涌上心头。灵感正盛，思路正顺，却被硬生生打断！就像一场美梦做到最精彩处被闹铃吵醒，那种抓心挠肝的难受，无以言表。他试图无视周围的喧闹，强行将自己的注意力拉回草稿纸，但刚才那种行云流水般的思维状态已经消失了，被打断了。思路就像一根被剪断的线，一下子接不上了。

他懊恼地捶了一下桌子。旁边的赵鹏吓了一跳：“凡哥，咋了？物理题太难了？”

凌凡没好气地瞪了他一眼，没说话。他看着草稿纸上那两组对比鲜明的坐标——化简前那复杂丑陋的样子和化简后简洁优美的样子，心里充满了惋惜。这个神奇的化简过程，这个灵光一闪的瞬间，如果不及时记录下来，会不会像指间流沙一样消失？以后遇到类似的分母，他还能不能立刻想到半角公式这个“神来之笔”？

他猛地意识到一个问题：他的“逆袭错题本”主要记录的是错误和误区，他的“艾宾浩斯计划表”安排的是复习时间，他的常规笔记本记录的是课堂重点和解题步骤。

唯独缺少一个地方，用来捕捉和收藏这种“灵光一闪”、“顿悟瞬间”、“巧妙拆解”和“神奇化简”的思维火花！

这些火花，往往转瞬即逝，且极具个人色彩，是独属于他自己的、最高效的思维捷径和解题“外挂”。它们比最终的答案更珍贵！

他必须立刻建立一个新东西！

本章未完，点击下一页继续阅读。