第39章 以10为底的对数（lg）详解：概念、性质、应用与发展（2/2）

随着电子计算器和计算机的发展，手工查表和对数尺逐渐退出历史舞台，但对数的思想和应用被继承并深化，尤其是在算法复杂度分析、信号处理、数据可视化等领域。

五、lg 函数的图像与性质函数 的图像具有以下特征：定义域：值域：全体实数图像形状：在 处，当 时，，函数单调递增当 时，图像在 时趋向负无穷，在 时趋向正无穷图像始终位于 y 轴右侧，以 y 轴为垂直渐近线这种“对数级增长”在算法分析中被视为非常高效的时间复杂度。这种“对数级增长”在算法分析中被视为非常高效的时间复杂度。

六、lg 的实际应用领域科学计算与工程其中 是声强， 是参考强度。对数尺度能有效压缩巨大的强度范围（如从耳语到喷气发动机）。其中 是声强， 是参考强度。对数尺度能有效压缩巨大的强度范围（如从耳语到喷气发动机）。每增加1级，能量约增加31.6倍。每增加1级，能量约增加31.6倍。其中 是氢离子浓度。ph=7为中性，小于7为酸性，大于7为碱性。其中 是氢离子浓度。ph=7为中性，小于7为酸性，大于7为碱性。

计算机科学与信息技术算法复杂度分析：

在时间复杂度中， 表示“对数时间”，如二分查找、堆操作等。这类算法效率极高，即使数据量翻倍，运行时间仅增加一个常数。

信息论：

信息熵的单位“比特”（bit）基于以2为底的对数，但转换时常涉及 lg。例如，。数据压缩与编码：对数用于衡量信息量和编码效率。天文学与测量星等系统：恒星的视星等使用对数尺度，亮度每差5等，光度差100倍，即每等对应 关系。

大尺度数据表示：宇宙中的距离、质量、能量跨度极大，使用对数坐标图可清晰展示。金融与经济复利计算中，求解时间或利率常需使用对数。经济增长、通货膨胀等长期趋势在对数图上呈现线性，便于分析。在生物学和医学领域，微生物的生长以及药物在体内的代谢动力学过程中，常常会出现一些呈指数增长或衰减的现象。这些过程的时间分析通常会使用对数来进行处理。

例如，微生物的繁殖速度可能会随着时间的推移而呈现出指数级别的增长。通过对微生物数量取对数，可以将这种指数增长转化为线性关系，从而更方便地分析和预测微生物的生长趋势。

同样，在药物代谢动力学中，药物在体内的浓度也可能会随着时间的推移而发生指数级别的变化。使用对数可以将这种复杂的变化转化为更易于理解和分析的形式。

此外，在计算半数致死量（Ld50）时，也会涉及到概率对数转换。半数致死量是指在一定条件下，能够导致一半实验动物死亡的药物剂量。通过对实验数据进行概率对数转换，总之，对数可以更准确地估计出 Ld50 的值，并评估药物的毒性。