第30章 ln的出现时代（2/2）

三、自然对数的数学建构：从双曲线面积到微积分自然对数真正意义上的“出现”，是在微积分诞生之后。

17世纪后期，数学家开始研究函数 y = 1\/x 的图像——双曲线，并尝试计算其下的面积。1647年，比利时耶稣会士格雷戈里·德·圣文森特（Grégoire de Sat-Vi）发现，函数 y = 1\/x 从 x = 1 到 x = a 的曲线，等于从1到ab的面积。这一发现至关重要，因为它表明：双曲线下的面积函数满足对数的加法性质。

这一面积函数后来被确认为自然对数函数。换言之，ln(x) 可以定义为：ln(x) = ∫?? (1\/t) dt这一积分定义是自然对数的严格数学基础，也是其“自然”之名的由来——它直接源于最简单的有理函数 1\/x 的积分。

四、欧拉与自然对数的正式确立自然对数的系统化和普及，归功于18世纪最伟大的数学家之一——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。欧拉在1748年出版的巨着《无穷小分析引论》（Introductioanalys fitoru）中，首次明确将 e 作为自然对数的底，并系统地发展了指数与对数函数的理论。

推广自然对数的使用：他展示了 ln(x) 在微积分中的优越性，例如 d\/dx ln(x) = 1\/x，而其他底数的对数则需要额外的常数因子。引入符号“ln”：虽然“ln”这一符号在欧拉时代尚未完全标准化，但他对自然对数的强调为后世符号的统一奠定了基础。

欧拉的工作使自然对数从一种特殊的对数转变为数学分析的核心工具。他还将 e 与三角函数通过欧拉公式 e^(ix) = s(x) + i s(x) 联系起来，进一步彰显了 e 和 ln 在数学统一性中的核心地位。

五、18世纪至19世纪：自然对数的广泛应用随着微积分在物理学、天文学和工程学中的广泛应用，自然对数迅速成为科学计算的标准工具。在牛顿和莱布尼茨之后，数学家们使用 ln 来求解微分方程、计算曲线长度、分析概率分布（如正态分布的密度函数），及描述放射性衰变、人口增长等自然现象。在19世纪，随着复分析的发展，自然对数被推广到复数域，尽管其多值性带来了新的挑战，但这反而丰富了数学理论。

六、符号“ln”的标准化尽管自然对数的概念在18世纪已成熟，但符号“ln”直到19世纪末至20世纪才被广泛采用。早期文献中常用“log”表示自然对数，而“log??”表示常用对数。随着工程和科学中常用对数（以10为底）的普及，为避免混淆，数学家开始使用“ln”特指自然对数。