第18章 lg的名字与ln的名字（2/2）

计算机科学：在算法复杂度分析中，虽然常用log?，但lg也用于描述某些分治算法的时间复杂度，如二分查找的o(lg n)。数据可视化：对数坐标图（log plot）常使用lg尺度，以展示跨越多个数量级的数据，如人口增长、经济指标等。

三、“ln”：以e为底的对数——自然增长的语言“ln”是“logarith naturalis”的缩写，源自拉丁语，意为“自然对数”。它表示以数学常数e（约等于2.）为底的对数，记作 ln(x) 。若 e^y = x，则 y = ln(x)。命名来源。与历史演变“ln”这一符号的出现，与自然对数，的历史发展密不可分。

尽管纳皮尔最早提出的对数，并非以e为底，但其工作为后来的数学家奠定了基础。17世纪末，瑞士数学家雅各布伯努利（Jab bernoull）在研究复利问题时，首次发现了常数e的雏形。他发现，当利息连续复利时，极限值趋近于一个特定常数，即e。后来，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪系统地研究了这个常数，并将其命名为“e”（可能取自“expoial”或其姓氏首字母）。

欧拉还证明了自然对数与指数函数的深刻联系，确立了ln在微积分中的核心地位。“ln”作为符号，最早出现在18世纪的数学文献中，用以区别于常用对数。其“自然”之名，源于e在自然界中的普遍性：从人口增长、放射性衰变到金融复利，许多自然过程都遵循指数规律，而ln正是描述这些过程的数学工具。数学特性与核心地位自然对数ln之所以“自然”，在于其在微积分中的独特性质：ln(x) 的导数为 1\/x，这是所有对数函数中唯一具有如此简洁导数的形式。

四、指数函数 e^x 是其自身导数，与ln(x)互为反函数，构成微分方程求解的基础。ln(x) 的积分形式 ∫(1\/x)dx = ln|x| + c，是基本积分公式之一。此外，ln在泰勒级数、复变函数、概率论等领域中也扮演着关键角色。例如，正态分布的概率密度函数中包含ln，最大似然估计也常通过对ln似然函数求导来求解参数。