第50章 ln（以e为底）的最小值与最大值（2/2）

3.2 自然对数函数的单调性自然对数函数ln(x)在(0,+∞)区间内是单调递增的。证明方法有多种，其中一种是利用导数。求ln(x)的导数，得。由于x＞0，所以，即ln(x)＞0。根据导数判断函数单调性的方法，当导数为正时，函数单调递增。因此，ln(x)在(0,+∞)区间内是单调递增的。这也意味着，随着x的增大，ln(x)的函数值也随之增大，不会出现减小的趋势。

四、自然对数函数ln(x)的导数与极值判断

4.1 自然对数函数的导数对自然对数函数求导，可得出其导数为。具体计算过程为，根据导数的定义，。利用对数性质，可将分子变形为，再结合的导数性质及极限知识，最终得到。

4.2 利用导数判断函数的极值由可知，当时，，即。这表明自然对数函数在区间内是单调递增的。由于在其定义域内处处可导，且导数恒为正，根据极值点的判断条件，函数在定义域内不存在极值点。也就是说，随着的增大而持续增大，没有出现先增后减或先减后增的极值情况。

五、自然对数函数ln(x)在定义域边界处的行为

5.1 当x趋近于0时ln(x)的极限当x趋近于0时，ln(x)的极限是负无穷大。可以利用等价无穷小进行证明，当x趋近于0时，ln(1+x)~x，即ln(1+x)与x是等价无穷小。那么当x趋近于0时，ln(x)=ln[1+(x-1)]=ln[1+(x-1)]\/(x-1)x(x-1)，由于ln[1+(x-1)]\/(x-1)的极限为1，而x-1趋近于-1，所以ln(x)的极限为负无穷大。这也解释了ln(x)的图像在x趋近于0时会无限接近y轴，且函数值迅速减小至负无穷。

5.2 当x趋近于+∞时ln(x)的极限当x趋近于+∞时，ln(x)的极限是正无穷大。从图像上看，ln(x)的曲线随着x的增大不断上升，且增长速度虽缓慢但持续。从数学原理上分析，因为e^x是增函数，且增长速度极快，当x趋近于+∞时，e^x也趋近于+∞。而ln(x)是e^x的反函数，所以当e^x趋近于+∞时，对应的x值也趋近于+∞，即ln(x)的极限为正无穷大。这表明ln(x)的值会随着x的增大而无限增大，没有上限。

六、证明自然对数函数ln(x)没有最小值和最大值

6.1 利用导数证明ln(x)没有极值自然对数函数ln(x)的导数为。在定义域内，即，这表明ln(x)单调递增。若函数有极值，极值点处导数需为零或不存在，而在定义域内恒为正，无零点和不可导点。故ln(x)不存在极值，函数值随x增大而持续增大或减小，没有极值出现。

6.2 反证法证明ln(x)无最小值和最大值假设ln(x)存在最小值，则必有，使得。由于ln(x)单调递增，当时，这与是最小值矛盾。故ln(x)不存在最小值和最大值。