第49章 lg（以10为底）的最小值与最大值（1/2）

一、对数函数概念引入

1.1 对数函数基本定义在数学的广阔天地里，对数函数以其独特的身份占据一席之地。它是六类基本初等函数之一，有着明确的定义：若（a＞0且a≠1），则x被称为以a为底N的对数，记作。其中a是底数，N是真数。对数函数就是以真数为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。当底数取10时，就得到了常用对数函数，即lg函数，在不表明底数的情况下，常以自然常数e为底。

1.2 对数函数发展背景对数函数的诞生，离不开苏格兰数学家约翰·纳皮尔的智慧。在16、17世纪之交，天文、航海等领域的发展使得繁琐的计算需求大增，简化大数运算成为迫切需求。纳皮尔正是在研究天文学时，为了减轻计算负担，花费二十年心血发明了对数。他的《奇妙的对数表的描述》一书，让对数走进人们的视野。对数的出现，是数学史上的重大事件，与解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就，极大地推动了数学和科学的发展。

二、lg函数性质分析

2.1 定义域探究在数学的世界里，lg函数的定义域被严格限定在（0，正无穷）的范围内。这背后有着深刻的数学逻辑。从对数的定义出发，若（a＞0且a≠1），x为以a为底N的对数，只有当N为正实数时，才有意义。因为任何正实数的x次幂都是正数，而0和负数无法满足这一条件。当底数为10时，同样如此，只有正实数的常用对数才有意义，这也决定了lg函数的定义域只能是（0，正无穷）。

2.2 值域探讨lg函数的值域为全体实数集合R，这与其图像的特性紧密相关。观察lg函数的图像，会发现它在定义域（0，正无穷）内呈现出单调递增的趋势，且无界。随着自变量x从0开始不断增大，函数值lg(x)可以取到任意实数。当x趋近0时，lg(x)趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，lg(x)也趋近于正无穷。这种无界的特性，使得lg函数的值域覆盖了所有实数。

三、lg函数最小值分析

3.1 最小值存在性判断在数学的严谨逻辑下，lg函数在定义域（0，+∞）内并不存在最小值。这是因为lg函数具有无下界的特性，从其图像和性质来看，随着自变量x从0开始逐渐增大，函数值lg(x)可以不断减小，且没有下限。当x趋近于0时，lg(x)趋近于负无穷，意味着函数值可以无限接近负无穷大，但却永远无法达到一个具体的、确定的负数值作为最小值。这种无下界的特性，决定了lg函数在定义域内没有最小值这一事实，也体现了lg函数在值域上的独特性质。

本章未完，点击下一页继续阅读。