第18章 ln20＾K与ln21＾K（K＝4），ln22＾K至ln30＾K（3≤K≤4）（2/2）

3.2 指数K在3至4之间变化时对数函数值的变化当指数K在3至4之间变化时，对数函数值的变化趋势与底数有关。以自然对数为例，对于底数大于1的情况，如ln20^K至ln30^K，随着K从3增大到4，底数不变，指数增大，对数函数值也随之增大。这是因为底数大于1时，对数函数是单调递增的，指数的增加会导致真数的增加，从而使得函数值增加。而对于底数小于1的情况，如ln（）^K，指数增大时，对数函数值是减小的，因为底数小于1的对数函数是单调递减的。指数对增长速率也有影响，底数越大，指数增大时函数值的增长速率越快；底数越小，增长速率越慢。

四、具体比较

4.1 ln20^K与ln21^K（K=4）的比较当K=4时，要比较ln20?与ln21?的数值大小，可借助换底公式进行推导。设，，根据换底公式可得：，。由于lne=1，所以，。又因为，且自然对数函数lnx在x＞1时是单调递增的，所以。从数值上估算，利用已知，，则有，，其中，，所以，显然12.18＞11.526，进一步验证了。

4.2 ln22^K至ln24^K与ln26^K的比较在3≤K≤4的范围内，分析ln22?至ln24?与ln26?的数值大小关系。首先考虑底数相同时，指数变化对函数值的影响，由于底数都大于1，且lnx在x＞1时单调递增，所以当K增大时，ln22?、ln23?、ln24?的值都会增大。从底数不同的角度分析，ln22?与ln26?的比较，当K=3时，，其中，，所以，而，，，显然9.756＞9.267。同理可分析K取其他值时的情况，综合得出ln22?至ln24?都小于ln26?。

五、实际应用

5.1 对数函数和指数函数在物理学中的应用在物理学领域，对数函数和指数函数的身影随处可见。放射性元素的衰变便是典型例子，其衰变规律常以指数函数形式呈现，如某放射性元素的质量随时间按指数函数衰减，若初始质量为0，衰变常数为λ，经过时间t后剩余质量为。又如电路分析中，Rc电路的充放电过程也遵循指数规律，电容电压随时间的变化可用指数函数描述。在声学中，声音的强度与声压级的关系借助对数函数建立，声压级Lp=20lg（p\/p0），其中p为声压，p0为基准声压，对数函数将声压的微小变化放大为可感知的声压级，便于研究声音强度变化。这些实例充分体现出对数函数和指数函数在物理学中的重要应用价值。

5.2 对数函数和指数函数在经济学中的应用经济学中，对数函数和指数函数同样大放异彩。计算经济增长率时，指数函数，若年增长率为r，则n年后的Gdp。