第4章 ln3＾9至ln3＾12（2/2）

3.1 数值计算方法要计算ln3^9（9ln3）和ln3^12（12ln3）的具体数值，使用计算器是最直接简便的方法。拿出一个具备自然对数计算功能的计算器，先输入3的9次方得到729，再将729输入计算器的自然对数功能键，即可得出ln3^9的数值，同理可计算出ln3^12。对于9ln3和12ln3，只需先计算出ln3的值，然后分别乘以9和12即可。除了计算器，还可采用数值逼近的方法。以ln3^9为例，可利用泰勒展开式，将自然对数函数在1处展开成无穷级数，，由于729可表示为，则，通过取有限项近似计算得出结果，ln3^12也可依此方法计算。

3.2 数值大小比较借助计算器可算出ln3^9≈6.584，ln3^12≈8.826，显然ln3^12大于ln3^9。从数学分析角度，ln3^9（9ln3）和ln3^12（12ln3）的差异也清晰可辨。ln3^9表示3的9次方的自然对数，ln3^12则是3的12次方的自然对数，由于3的指数幂次越大，其结果越大，而自然对数函数在定义域内是增函数，所以底数e不变时，真数越大，对数值越大。9ln3和12ln3的差异在于12个ln3相加比9个ln3相加得到的数值更大，这体现了随着指数增大，对数值增长的变化规律，两者之间的差值反映了这种增长趋势的差异程度。

四、指数增长概念

4.1 指数增长的定义指数增长，指的是某个量在一个固定的时间周期内，其增长速率与当前的量成正比。当指数增大时，数值增长的速度会呈现出爆炸式的增长态势。比如在初始值为1的情况下，若增长率为2，每经过一个时间周期，数值会依次变为2、4、8、16……这种增长模式在自然界和社会生活中极为常见。人口增长就常被看作是指数增长，在资源充足、条件适宜时，人口数量会随时间呈几何级数增长。细菌的繁殖也是典型的指数增长，理想条件下，一个细菌分裂成两个，两个再分裂成四个，以此类推，数量迅速增加。指数增长因其增长速度随指数增大而急剧加快的特点，在研究各种增长现象时具有极其重要的价值。

4.2 与对数的关系指数增长与对数之间存在着紧密的联系。对数是指数的逆运算，当一个量呈现指数增长时，其增长规律可以用指数函数来描述，而对数函数则是这个指数函数的反函数。

比如在分析人口，增长数据时，直接看人口数量的指数，增长曲线可能会因增长过快而难以把握，其具体变化特点，而将其转化为对数值后，曲线会变得平缓，更容易观察出增长的趋势和规律。