第51章 lg（以10为底）的泰勒展开式（1/2）

一、对数函数与泰勒展开式基础

1.1 对数函数lg(x)的定义与性质以10为底的对数函数lg(x)，是指数函数的反函数。若，则x叫做以10为底N的对数，记作。其定义域为(0,正无穷)，因为的值域是(0,正无穷)，作为反函数，lg(x)的定义域便是所有正数。值域是(负无穷,正无穷)，这是由于x可以取任意实数，而总能对应一个正数N，使得。lg(x)具有对数函数的基本性质，如，，且当x＞1时，lg(x)＞0；当0＜x＜1时，lg(x)＜0。

1.2 泰勒展开式的原理与意义泰勒展开式的原理是将一个在某点处具有任意阶导数的函数，用该点处的各阶导数值构造一个多项式函数来无限逼近原函数。具体来说，对于函数，若其在处可导，则在附近的泰勒展开式为。它在函数近似中作用显着，可通过有限项多项式近似复杂函数，便于计算。在理论分析中，能揭示函数在某点附近的性态，如极值、凹凸性等，是数学分析和工程计算的重要工具。

二、lg(x)函数在特定点的泰勒展开式推导

2.1 计算lg(x)函数各阶导数要计算lg(x)函数在特定点的各阶导数，首先明确。对于，其一阶导数为，二阶导数为，三阶导数为，以此类推，其阶导数为。由于是常数，lg(x)的各阶导数即为各阶导数除以。在处，的一阶导数为，二阶导数为，三阶导数为，依此类推，阶导数为。这些导数值将为后续的泰勒展开式推导提供必要的基础。

2.2 推导x=1处lg(x)的泰勒展开式在处推导lg(x)的泰勒展开式，依据泰勒公式。已知，即。由2.1节可知，在处的一阶导数为，二阶导数为，三阶导数为，阶导数为。将这些导数值代入泰勒公式，得。整理化简后，即为在处的泰勒展开式。

2.3 推导x=10处lg(x)的泰勒展开式在处推导lg(x)的泰勒展开式，同样利用泰勒公式。设，则，于是。对求导，其一阶导数为，二阶导数为，三阶导数为，以此类推，阶导数为。在处，即处，各阶导数的值为、、、、。将这些值代入泰勒公式，得到。

三、lg(x)泰勒展开式的收敛性分析

3.1 确定泰勒展开式的收敛半径确定lg(x)泰勒展开式的收敛半径，可利用比值判别法。考察lg(x)泰勒展开式的相邻两项之比，其中为展开式的第项系数。若，当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，无法确定，需用其他方法判别。对于lg(x)在处的展开式，其系数，计算可得，此时需借助其他判别方法来确定其收敛半径。

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