第48章 ln（以e为底）的发展（1/2）

一、古代数学思想中的对数萌芽

1.1 巴比伦和埃及数学中的对数思想在古巴比伦，人们很早就开始使用乘法表来简化大数计算，这种乘法表实质上蕴含着对数的雏形思想。通过将一些常用数字的乘积制成表格，在需要计算大数乘法时，只需查找表格即可得到结果，极大地提高了计算效率。古埃及数学中也有类似的情况，他们采用类似二进制的乘法运算方法，将乘数拆分成2的幂的和，将被乘数翻倍后再相加，这种方法在对数思想的发展中也起到了一定的推动作用。

1.2 古代中国数学对指数运算的理解古代中国数学家对指数运算的认识源远流长。在《九章算术注》中，刘徽以“幂”字表示指数，将乘方视为一个数自乘多次的结果。在实际计算中，古代中国数学家会根据筹算中数的位置来确定其自乘的次数，这种方法在当时是非常先进的。对于乘方和开方问题，《九章算术》等着作中有详细的记载和算法，如开方术等，这些都为后世对数概念的发展奠定了基础。

二、纳皮尔和布里格斯对数的发明

2.1 纳皮尔对数的发明背景与动机16、17世纪之交，天文、航海、工程等学科迅猛发展，复杂的大数计算成为阻碍科研进步的难题。纳皮尔作为苏格兰数学家，在研究天文学时，深感计算之繁复。为简化计算，他开始思考如何用更简便的方法处理乘、除、开方等运算。经过长期探索，最终发明了对数。这一发明不仅为天文学界带来巨大便利，也极大地推动了数学及其他学科的发展，成为数学史上的重大突破。

2.2 纳皮尔对数表的编制方法纳皮尔对数表的编制基于等比数列与等差数列的对应关系。他以一条射线表示等差数列，点A以恒定速度运动；以一条线段表示等比数列，点b从起点以几何级数形式减速运动。设定线段长度为107，点b初始速度为107，每过一段时间速度按一定比率下降。当点A与点b运动时间相同时，A在射线上的距离与b在线段上的距离之比即为纳皮尔对数。通过这种几何方法，他制作出对数表，将乘除运算转化为加减运算，极大简化了计算过程。

三、欧拉对自然常数e的发现与ln函数形成

3.1 欧拉发现自然常数e的过程在数学探索的征途中，欧拉以其敏锐的洞察力与深厚的数学功底，发现了自然常数e。他从分析复利问题入手，假设本金为1，年利率为100%，每年计息次数为n次，则1年后本利和为。当n趋近于无穷大时，的值会趋近于一个确定的数，这个数就是自然常数e。欧拉通过极限计算的方法，得出e的近似值为2.……，这一发现为数学世界增添了新的璀璨明珠，也为后续数学研究开辟了新的道路。

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