第41章 lga － lgb ＝ 1，lga ＝ 1 ＋ lgb（1/2）

一、对数函数基础

1.1 对数的定义在数学的广袤天地里，对数是一种独特的函数。若，则叫做以为底的对数，记作。对数可视为幂为自变量，指数为因变量的函数。当为常数时，作为自变量，作为因变量。在对数的世界里，底数是大于0且不为1的常量，真数则需大于0。它与指数函数互为反函数，是数学运算中简化乘除、乘方、开方等复杂运算的重要工具。

1.2 对数的常用底数对数的底数多样，其中以10为底的常用对数和以无理数为底的自然对数最为常见。以10为底的常用对数，记作，在工程计算等领域应用广泛，因其底数为10，便于与十进制数系结合，简化计算。而以为底的自然对数，记作，在自然科学中有着重要地位。是一个约等于2.的常数，许多自然现象的增长和衰减规律都与有关，自然对数在微积分等高等数学领域也发挥着重要作用。

1.3 对数函数的运算法则对数函数的运算法则丰富多样。若、、、均大于0，且，则有，这是对数加法的运算法则，证明过程基于和，将和相乘后取对数可得。还有，即对数减法，是利用推导得出。是对数幂次法则，由得出，这些法则为对数运算提供了便利。

二、等式等价性证明

2.1 lga - lgb = 1 与 lga = 1 + lgb 等价性证明根据对数函数的减法法则，我们知道。在中，将表示为，则有。移项可得，即。从另一个方向来看，若，将转换为对数形式，则有。再利用对数减法法则的逆运算，得到，即。由此可以证明与是等价的，它们只是同一关系的不同表现形式。

2.2 lga = lg10b 推导为 lga = 1 + lgb对数幂次法则告诉我们。在中，将看作是的次幂，即，于是有。根据对数幂次法则，进一步化简为。由于以为底的对数，所以。又因为可以表示为的指数形式，即，代入上式得。再结合的形式，将转换为，从而证明了可以推导出。

三、等式实际应用

3.1 求解未知数在求解对数方程中的未知数时，等式的应用十分广泛。例如对于方程，可将其变形为。根据对数定义，有，解得。又如，利用等价关系可得，即，解得。通过这些实例可见，利用等式，能将复杂的对数方程转化为简单的一元一次方程，进而求出未知数。

3.2 证明恒等式在恒等式证明中，等式也发挥着重要作用。以证明为例，首先根据对数幂次法则，有。又因为，将其代入得。再利用的变形形式，得到。根据对数的定义，，即，从而证明了恒等式成立。这种方法巧妙地将已知等式与对数性质结合，为恒等式证明提供了便捷途径。

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