冯诺依曼代数简介及其转变（二）：代数转变和引力（2/2）

当t属于 A\\athcal{A} 的时候，生成的自同态叫做ner的，而当 tt 不属于 A\\athcal{A} 的时候，生成的自同态是outer的。

如果这个自同态结构是通过 h^\\hat{h} 形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的sirace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。

一个数学定理说的是： 对于一个type III1III_{1} 的factor，它和其外模自同态群（outer autoorhphis）形成的代数结构 AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\athcal{A}_{R}=\\athcal{A}_{r,0} \\rtis \\athcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\beta N} 是一个type II∞\\athr{II}_{\\fty} 的von Neuann代数。 它也是一个factor。

type II的代数和type III的代数的一个重要不同在于，type II代数具有求迹的结构，而type III代数没有。因此当代数转变为type II的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。

考虑扩充的希尔伯特空间中的态 Ψ^=Ψ?g1\/2(x)\\hat{\\psi}=\\psi\\otis g^{1\/2}(x) , 其中 Ψ\\psi 是关于代数 Ar,0\\athcal{A}_{r,0} 的一个cyclic-seperatg的态，因为 g1\/2g^{1\/2} 是恒正的，因此 Ψ^\\hat{\\psi} 也是一个cyclic-seperatg的态。

对于 Ar,0\\athcal{A}_{r,0} 有一个odur 算符 ΔΨ\\delta_{\\psi} , 满足如下的关系

?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?\\ngle \\psi|ab|\\psi\\rangle=\\ngle \\psi|b \\delta_{\\psi}a |\\psi\\rangle

证明比较简单

?Ψ|bΔΨa|Ψ?=?Ψ|bSΨ?SΨa|Ψ?=?b?Ψ|SΨ?|SΨaΨ?=?a?Ψ|SΨ|b?Ψ?=?Ψ|ab|Ψ?\\ngle \\psi|b \\delta_{\\psi}a |\\psi\\rangle=\\ngle \\psi| b S^{\\dagger}_{\\psi} S_{\\psi} a|\\psi \\rangle =\\ngle b^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}^{\\dagger}|S_{\\psi}a\\psi\\rangle=\\ngle a^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}|b^{\\dagger}\\psi\\rangle=\\ngle \\psi|ab|\\psi\\rangle

其中用到了odur 算符的表达式 ΔΨ=SΨ?SΨ\\delta _{\\psi}=S_{\\psi}^{\\dagger}S_{\\psi} , 以及 SΨS_{\\psi} 是一个反线性算符。

如果定义 au=eih^Ψuae?ih^Ψua_{u}=e^{i\\hat{h}_{\\psi} u} a e^{-i \\hat{h}_{\\psi} u} , 那么也可以得到KS关系 ?Ψ|aub|Ψ?=?Ψ|bau+i|Ψ?\\ngle \\psi|a_{u}b|\\psi\\rangle=\\ngle \\psi|b a_{u+i}|\\psi\\rangle

而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的odur算符 Δ^Ψ^\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}

?Ψ^|a^b^|Ψ^?=?Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^?\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle , 此时 a^,b^∈Ar,0?Ah^Ψ+x\\hat{a}, \\hat{b} \\ \\athcal{A_{r,0}}\\rtis \\athcal{A}_{\\hat{h}_{\\psi}+x} , 记 x=βNUx=\\beta N U

因为此时 a^=aeis(h^Ψ+x)\\hat{a}=a e^{is (\\hat{h}_{\\psi}+x)} ,容易验证扩充后的odur算符的表达式为

Δ^Ψ^=ΔΨg(h^Ψ+x)g(x)?1\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\delta_{\\psi} g(\\hat{h}_{\\psi}+x) g(x)^{-1}

这个公式意味着它可以拆分为两部分 Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K

K=Δe?xg(h^Ψ+x),K~=exg(x)K=\\delta e^{-x} g(\\hat{h}_{\\psi}+x), \\quad \\tilde{K}=\\frac{e^{x}}{g(x)}

有了以上的准备工作，可以给出对于 A?R\\athcal{A} \\rtis R 上的算符 a^\\hat{a} 的trace

tra^=?Ψ^|a^K?1|Ψ^?tr \\hat{a}=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{a}K^{-1} |\\hat{\\psi}\\rangle

可以验证它确实满足trace的定义

tra^b^=?Ψ^|a^b^K?1|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^?1|Ψ^?tr\\hat{a}\\hat{b} =\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b} K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a} \\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle

带入 Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K ,就可以知道

tr(a^b^)=?Ψ^|b^a^K?1|Ψ^?=tr(b^a^)tr(\\hat{a}\\hat{b})=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{a}K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rar(\\hat{b}\\hat{a})

这里用到了 K~\\tilde{K} 和a对易。

利用 ΔΨΨ=Ψ,h^Ψ|Ψ?=0\\delta_{\\psi}\\psi=\\psi, \\quad \\hat{h}_{\\psi}|\\psi\\rangle=0 , 求迹操作的定义可以写为如下简单的形式

tr(a^)=?Ψ^|a^exg(x)|Ψ^?=∫?∞∞dxex?Ψ|a^|Ψ?tr(\\hat{a})=\\ngle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\frac{e^{x}}{g(x)}|\\hat{\\psi}\\ra_{-\\fty}^{\\fty} dx e^{x}\\ngle \\psi|\\hat{a}|\\psi\\rangle

有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于hilbert空间的态 |Φ?∈h|\\phi\\rangle \\ \\athcal{h} , 可以定义 p∈A\\rho \\ \\athcal{A}

?Φ|a|Φ?=tr(pa)\\ngle \\phi| a |\\phi\\rar(\\rho a)

由以上定义可以看出，对于cyclic seperatg的态 |Ψ^?|\\hat{\\psi}\\rangle ,密度矩阵就是 K. 得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵

S(p)=?tr(plogp)S(\\rho)=-tr(\\rho log \\rho)