冯诺依曼代数简介及其转变（一）：冯诺依曼代数的构造及分类（2/2）
考虑其中除了有限个之外，其他的 vkv_{k} 都等于 I2′I_{2}' .
此时因为这个截断，我们可以定义希尔伯特空间的内积 ?v,w?=trv(n)?w(n)\\ngle v,\\oga\\rar v_{(n)}^{\\dagger}w_{(n)} .
注意到我们这里对于态空间做了一个限制，这个态空间的限制会导致作用在其上的算符也有一个限制。
对于相应的算符
a=a1?a2....?an?.....a=a_{1}\\otis a_{2}....\\otis a_{n} \\otis .....
也是必须要根据态空间的限制进行指定，即只有除了有限n个算符之外，其他 aa 都是恒等算符的时候，才是合理的算符空间。以上算符a（ A0\\athcal{A}_{0} ) 还不足以生成一个算符空间，因为它并不是闭（closed）的，要让其闭合，需要引入极限要求算符可以收敛，最后算符空间的定义为
a:h→h,ax=lin→∞a(n)xforx∈ha: \\athcal{h} \\to \\athcal{h}, a\\chi=li_{n \\to \\fty} a_{(n)} \\chi \\quad for \\quad \\chi \\ \\athcal{h} .
当然我们也可以定义相应的a'空间，它们组成的互补代数 A,A′\\athcal{A},\\athcal{A'} 互相同构。 定义关于 A\\athcal{A} 和 A′\\athcal{A}' 代数是cyclic和seperatg的态。
Ψ=I2′?I2′.....?I2′...∈h\\psi=I_{2}' \\otis I_{2}'.....\\otis I_{2}'...\\ \\athcal{h}
一个自然的线性函数是
F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\ngle \\psi|a |\\psi\\rangle
可以看出这个函数给出了求迹的定义，来验证一下
首先因为 |Ψ?|\\psi\\rangle 是seperatg的，所以对于非零的a， a|Ψ?≠0a|\\psi\\rangle eq 0 ,所以首先 F(a?a)?0F (a^{\\dagger}a) \\geqsnt 0
而对于两个算符a，b,
F(ab)=tr2[1]?....2[k]a1b1?a2b2...?akbk=F(ba)F(ab)=tr_{_{2}^{[1]} \\otis...._{2}^{[k]}}a_{1}b_{1} \\otis a_{2}b_{2}...\\otis a_{k}b_{k}=F(ba)
因此满足这个交换性，（我们注意到实际上定义完von-Neuann代数之后，cyclic seperatg态的结构在这个交换性上产生了重要作用）。 因为以上性质，这个线性函数定义了求迹的运算，相应的von-Neuann代数被称为type II的，而能否定义求迹运算，实际上构成了type II和type III代数的最终区别。
type III的von-Neuann代数则是性质最差的，此时不仅无法定义子区域的希尔伯特空间，甚至求迹操作都没法良好定义。相比于前两个，它也是更为一般的von-Neuann代数。 考虑一般的两体纠缠，此时不是最大纠缠，可以把描述两体纠缠的矩阵写作
K2,λ=1(1+λ)1\/2diag(1,λ1\/2)K_{2,\\bda}=\\frac{1}{(1+\\bda)^{1\/2}} \\athr{diag}(1,\\bda^{1\/2}) , diag表示对角矩阵。
此时构造type III的方法就是把构造type II时的所有 I2′I_{2}' 换为 K2,λK_{2,\\bda} .
同时要求态除了有限个之外，其他的 vnv_{n} 都等于 K2,λK_{2,\\bda} . 根据态空间的结构，也可以类似的构造其上的算符，先定义 A0\\athcal{A_{0}} ,然后再采取相同的步骤利用极限保证代数闭合，因此定义的代数是 Aλ\\athcal{A}_{\\bda} , 因为定义代数闭合的时候需要利用希尔伯特空间，因此 Aλ≠AA_{\\bda}eq \\athcal{A} ，因此会得到和type II不同的代数结构。对于相应的代数，此时的cyclic seperatg态为
Ψ=K2,λ?K2,λ.....?K2,λ....\\psi=K_{2,\\bda} \\otis K_{2,\\bda}.....\\otis K_{2,\\bda}....
可以很自然的去进行验证，此时 F(a)=?Ψ|a|Ψ?F(a)=\\ngle \\psi|a|\\psi\\rangle 定义给出的线性函数不满足 F(ab)=F(ba)F(ab)=F(ba) ，因此代数不再有一个合理的求迹的定义。
对于 λ≠λ′\\bda eq \\bda' 时，通常 Aλ,Aλ′\\athcal{A}_{\\bda}, \\athcal{A}_{\\bda'} 不是同构的。以上的构造也可以进行推广，即我们可以取不同的 K2,λK_{2,\\bda}
此时就有一个数列的 {λ1,λ2,...λn}\\{\\bda_{1},\\bda_{2},...\\bda_{n}\\} , 如果以上的数列收敛于一个特定的 λ\\bda ,那么得到的代数和之前说的一致，叫做 typeIIIλtype III_{\\bda} .
而如果以上数列并不收敛，而是至少在两个值之间震荡的话，那么就可以得到type III1III_{1} 代数。
以上我们就介绍完了三种冯诺依曼代数的构造，而通常的量子场论，它的代数都是type III的，实际上对于量子场论我们没办法像量子力学一样去讨论态的纠缠，因为此时希尔伯特空间不再具有直积的结构，因此不可以通过求迹得到子区域的密度矩阵。这也就是通常对于量子场论子区域纠缠熵发散的原因。
之前的研究通常都是取截断来正规化这个发散，但是这样就会将代数改变为type I的，进而再进行讨论，这样会不可避免的失去一些本质的信息。而通过代数的研究可以发现，量子场论中universal的子区域纠缠熵发散，并不是态的性质，而是von-Neuann代数的结构导致的。此时如果讨论 A,A′\\athcal{A},\\athcal{A}' 的纠缠我们会发现因为type III代数的结构导致纠缠熵实际上没法良好定义，这是发散的本质。